[2015년 백마고]

--

[2학년(이과) 1학기 기말 미적분1]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -4x+1]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: [0,```3]]에서 평균값 정리를 만족하는 상수 [eqn: c]의 값은? [4.0점]

⑤

① [eqn: - {3} over {2}]	② [eqn: -1]	③ [eqn: - {1} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3over2]

[eqn: int _{0} ^{3} {LEFT ( x ^{2} +2x-3 RIGHT ) dx}]의 값은? [4.0점]

④

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

곡선 [eqn: y=x ^{2} +4x+3] 위의 점 [eqn: LEFT ( 1,```8 RIGHT )]에서의 접선의 방정식은? [4.1점]

③

① [eqn: y=8x]	② [eqn: y=5x+3]	③ [eqn: y=6x+2]

④ [eqn: y=7x+1]	⑤ [eqn: y=9x-1]

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 [eqn: t]초 후의 위치가 [eqn: x LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {3} t ^{3} -4t ^{2} +7t]일 때, 점 [eqn: rmP]가 출발한 후, 방향을 두 번째 바꿀 때의 점 [eqn: rmP]의 가속도는? [4.1점]

①

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: lim _{x-> 1} {{1} over {x-1} int _{1} ^{x} {LEFT ( 3t ^{2} -2t+1 RIGHT ) dt}}]의 값은? [4.2점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n ^{4}}} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 3n+2k RIGHT ) ^{3}]과 같은 값을 갖는 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.2점]

③

ㄱ. [eqn: {1} over {2} int _{3} ^{5} {x ^{3} dx}]

ㄴ. [eqn: int _{0} ^{2} {LEFT ( 3+x RIGHT ) ^{3} dx}]

ㄷ. [eqn: . int _{0} ^{1} {LEFT ( 3+2x RIGHT ) ^{3} dx}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: x > 1]일 때 부등식 [eqn: 4x ^{2} -12x+a LEQ 2x ^{3} -5x ^{2}]이 항상 성립하도록 하는 모든 자연수 [eqn: a]의 값의 합은? [4.3점]

③

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 21]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =5x ^{4} -10x ^{3} +ax ^{2} +x]이고,
[eqn: int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} + int _{-2} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} + int _{1} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =0]
일 때, [eqn: a]의 값은? [4.3점]

⑤

① [eqn: -8]	② [eqn: -9]	③ [eqn: -10]

④ [eqn: -11]	⑤ [eqn: -12]

그림은 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +bx+c]의 도함수 [eqn: y=f `prime LEFT ( x RIGHT )]의 그래프이다. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극솟값이 [eqn: 2]일 때, 구간 [eqn: [-2,```4]]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수) [4.4점]

⑤

① [eqn: 6]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 22]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: xf LEFT ( x` RIGHT ) = int _{} ^{} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} +x ^{4} -2x ^{2} +7,````f LEFT ( -1 RIGHT ) =3]을 만족시킨다고 할 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극솟값은? [4.4점]

③

① [eqn: - {5} over {3}]	② [eqn: -2]	③ [eqn: - {7} over {3}]

④ [eqn: - {8} over {3}]	⑤ [eqn: -3]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여
[eqn: a _{n} = int _{0} ^{3} {LEFT ( 3+6x+9x ^{2} +12x ^{3} + CDOTS +3nx ^{n-1} RIGHT ) dx}]
라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {{a _{n}} over {3 ^{n+1} +2 ^{n}}}]의 값은? [4.4점]

②

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 3over2]	③ [eqn: 5over2]

④ [eqn: 7over2]	⑤ [eqn: 9over2]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 임의의 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여
[eqn: f LEFT ( x+y RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( y RIGHT ) +xy LEFT ( x+y RIGHT ) +3], [eqn: f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) =5]
를 만족시킬 때, 보기에서 옳은 것의 개수는? [4.5점]

③

ㄱ. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-3]

ㄴ. [eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =1]

ㄷ. [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =3]

ㄹ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( - INF ,``` INF RIGHT )]에서 증가한다.

ㅁ. [eqn: int _{-a} ^{a} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =0``` LEFT ( 단,```a는```실수 RIGHT )]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -3x-1]이 있다. 실수 [eqn: t` LEFT ( t GEQ -1 RIGHT )]에 대하여 [eqn: -1 LEQ x LEQ t]에서 [eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 최댓값을 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라고 할 때, [eqn: int _{-1} ^{2} {g LEFT ( t RIGHT ) dt}]의 값은? [4.7점]

④

① [eqn: 19over4]	② [eqn: 21over4]	③ [eqn: 23over4]

④ [eqn: 25over4]	⑤ [eqn: 27over4]

아래 그림은 수직선 위에서 원점을 출발하여 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]일 때의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]의 그래프이다. 이 그래프와 [eqn: t]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 각각 [eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S_3]이라 할 때,
[eqn: S _{1} :S _{2} :S _{3} =1:2:3]
이다. 그래프에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.7점]

④

ㄱ. 점 [eqn: rmP]는 출발하고 나서 방향을 [eqn: 3]번 바꿨다.

ㄴ. 출발하고 나서 [eqn: t=e]일 때까지 움직인 거리는

[eqn: S _{1} +S _{2} +S _{3}]이다.

ㄷ. [eqn: int _{0} ^{a} {v LEFT ( t RIGHT ) dt} = int _{a} ^{b} {v LEFT ( t RIGHT ) dt} ,```` int _{c} ^{d} {v LEFT ( t RIGHT ) dt} = int _{d} ^{e} {v LEFT ( t RIGHT ) dt}]이면,

[eqn: t=a]에서 [eqn: t=d]까지의 위치의 변화량은 [eqn: 0] 이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 반지름의 길이가 5인 구에 원뿔이 내접할 때, 원뿔의 부피가 최대가 되는 원뿔의 높이는? [4.8점]

①

① [eqn: 20over3]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 22over3]

④ [eqn: 23over3]	⑤ [eqn: 8]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=x ^{3}]의 중심이 [eqn: LEFT ( 0,```0 RIGHT )]이고 반지름이 [eqn: sqrt {2}]인 원 [eqn: C]가 있다. 색칠한 부분의 넓이를 [eqn: p+q pi]라 할 때, [eqn: p+q]의 값은? [4.9점]

⑤

① [eqn: 1over16]	② [eqn: 1over8]	③ [eqn: 1over4]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 1]

서술형

삼차방정식 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} -9x+2-k=0]이 중근과 다른 한 실근을 갖도록 하는 모든 상수 [eqn: k]의 값의 합을 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. [7.0점]

<조건>

1. 증감표를 이용하여 풀이과정을 서술할 것.

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 부정적분 중의 하나를 [eqn: F LEFT ( x RIGHT )]라고 할 때, 다음을 모두 만족시키는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. [8.0점]

[eqn: 4F LEFT ( x RIGHT ) =xf LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT ) ,`````f LEFT ( 0 RIGHT ) =-1]

정적분의 정의에 의하여 [eqn: int _{0} ^{2} {2x ^{3} dx}]를 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. [7.0점]

곡선 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -3x ^{2} LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )]와 곡선 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =kx ^{2}]로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: x]축에 의하여 이등분이 되도록 하는 상수 [eqn: k]값을 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. [8.0점]

[2015년 백마고]

[2학년(이과) 1학기 기말 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com